Log in

Александр Ґротендік (1928-2014)

Александр Ґротендік (1928-2014) Александр Ґротендік (1928-2014)

Минулого тижня помер Александр Ґротендік - один з найвпливовіших математиків другої половини 20-го століття, лауреат медалі Філдса, учасник групи "Ніколя Бурбакі".

Надзвичайний математичний талант Ґротендіка проявився вперше в студентські роки, коли він фактично перевідкрив теорію інтеграла Лебеґа. Після закінчення Університету Монпельє Ґротендік переїхав у Нансі, де під керівництвом всесвітньо відомого математика Лорана Шварца захистив дисертацію. Ще одним науковим керівником Ґротендіка був Жан Дьєдонне. Дисертація стосувалася функціонального аналізу, точніше, теорії топологічних лінійних просторів. Незабаром після захисту Ґротендік втратив інтерес до цієї тематики і зайнявся алгеброю. Серед його досягнень того часу - класичний тепер текст "Sur quelques points d’algèbre homologique", що значно розширив класичний трактат Картана і Ейленберга (тут варто згадати, що Ейленберг свого часу був у Львові).

Один з яскравих прикладів внеску Ґротендіка у математику є його версія теореми Рімана-Роха. Сама ця теорема доведена у середині 19-го століття; вона описує вимір простору мероморфних функцій на компактній рімановій поверхні, які мають у точках з заданої скінченної підмножини полюси заданих порядків. Через століття Ф. Гірцебрух поширив теорему Рімана-Роха на проективні несингулярні комплексні многовиди. Ґротендік протрактував цю теорему як твердження не про многовиди, а про морфізми многовидів. Доведення цього значно загальнішого результату стало, як не дивно, простішим, завдяки правильності узагальнення. Ґротендік тут застосував методи теорії категорій до складних проблем аналізу. При цьому було також закладено основи алгебраїчної K-теорії.

У кінці 50-х років Ґротендік почав перебудовувати основи алгебраїчної геометрії. В основу він поставив поняття схеми і топоса (далекого узагальнення поняття простору). Топос Ґротендіка - це категорія жмутків над ситусом (категорією з топологією Ґротендіка); раніше ситуси називали також сайтами, але зараз цей останній термін означає, здається, дещо інше. Ґротендік і Дьєдонне опублікували декілька томів "Éléments de Géométrie Algébrique" (EGA). Інакше цю книгу називали "Євангелієм від Ґротендіка" (внесок Дьєдонне був важливим, але цілісність задуму бачив лише Ґротендік).

У 1966 році з політичних міркувань Ґротендік відмовився поїхати в Москву на вручення йому медалі Філдса. Втім, політичні погляди Александра Ґротендіка не були надто радикальними. Цей аспект його життя, як і біографія батьків та самітництво Ґротендіка у другій половині його життя вимагають розгляду у окремій публікації.

Уваги заслуговує стиль математичної діяльності Ґротендіка. Він розбивав доведення теорем на послідовність простих, майже очевидних тверджень. При цьому не любив того, що називається "трюками" у доведеннях. І також не вважав теореми з простими доведеннями тривіальними і малозначущими. На відміну від математиків, що всіма силами розв'язують складні проблеми (як приклад, часто наводять Джона Неша - за сумісництвом, лавреата Нобелівської премії з економіки), Александр Ґротендік належить до математиків-будівничих теорій.

Чи доводилося мені коли бувати у кварталах мега(гіга-, тера-)полісу математики, що їх збудував Ґротендік? Ще у аспірантські роки я спорадично цікавився поняттям тензорного добутку топологічних лінійних просторів. Пізніше, у Львівському університеті М.Я. Комарницький організував семінар "Теорія топосів"; про топоси Ґротендіка тоді доповідав В.І. Андрійчук - математик широкої ерудиції, відомий фахівець з алгебраїчної геометрії (після смерті Андрійчука алгебраїчною геометрією займається на факультеті лише Л.Л. Стахів). Топосами я мало займався, з тих часів у моєму списку публікацій є тільки одна невелика стаття про оператор внутрішності у топосі жмутків над топологічним простором.

Нещодавно, на моє велике здивування, я прочитав у препринті Daniel A. Ramras, Bobby W. Ramsey "Extending Properties to Relatively Hyperbolic Groups" (http://arxiv.org/abs/1410.0060), що результати однієї моєї спільної статті з американським математиком А. Дранішніковим (Alexander Dranishnikov, Michael Zarichnyi, Asymptotic dimension, decomposition complexity, and Haver's property C, Topology and its Applications, Volume 169, 2014, P. 99-107) мають застосування у алгебраїчній K-теорії. Крім усього іншого, це може служити апостеріорним мотивуванням мого вибору як опонента на захисті однієї з учениць Б.В. Забавського.

Та найважливіше, що категорна точка зору, культивована Ґротендіком, дала змогу інакше подивитися на проблеми в областях, досить таки від категорій віддалених, скажімо, на теорію рівноваги в теорії ігор. Тут уже є низка результатів, в тім і львівських математиків, але наважуся сказати, що категорна теорія ігор все ще чекає для свого створення Александра Ґротендіка.

Або Джона Неша.

М.М. Зарічний

доктор фізико-математичних наук, професор кафедри геометрії і топології

Сайт: www.franko.lviv.ua/faculty/mechmat/Departments/Topology/zarichnyi.html
  • Коментарі не знайдено

Залиште свій коментар

Post comment as a guest

0
«
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
»

Наші контакти


Ідея, веб-дизайн і т.д.:

Олег Романів
oromaniv at franko.lviv.ua