Log in

Зухвало геометричні об'єкти

Кватерніонна множина  Жюліа в просторі чисто уявних кватерніонів Кватерніонна множина Жюліа в просторі чисто уявних кватерніонів

Кватерніонна множина Жюліа в просторі чисто уявних кватерніонів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13 листопада 1843 року на засіданні Ірландської королівської академії сер Вільям Роуен Гамільтон представив свою першу присвячену кватерніонам роботу "On a new Species of Imaginary Quantities connected with a theory of Quaternions" (.pdf). Надалі кватерніони спіткала сумна доля — спершу їх відкриття зустріли як божественне одкровення, але вже через якихось сорок років вони викликали у математиків стійку ідіосинкразію, а ще через сорок років про них майже ніхто не згадував.

Самі кватерніони, зрозуміло, у такому розвитку подій практично не винні. Єдине що можна, мабуть, поставити їм у провину — це те, що, будучи об'єктом алгебраїчним, вони виглядали зухвало геометрично (детальніше про це трохи нижче). Все інше - вплив виключно людського фактора.

Математик-невидимка

Розпочати історію треба не з сера Вільяма Гамільтона, а з іншої, теж досить відомої особистості — банкіра-соціаліста, близького учня Сен-Симона Бенжамена Оленда Родрігеса. Син лихваря, він в 1815 році закінчив Вищу нормальну школу в Парижі. Відразу після університету Родрігес зайнявся спекуляціями на біржі — і  досяг успіху.


Бенжамен Оленд Родрігес

Лише через декілька років недавній студент був уже директором банку і вельми забезпеченою людиною. У 1823 році Родрігес зустрів графа Анрі Сен-Симона і потрапив під вплив ідей філософа-утопіста. Вплив був настільки сильним, що Родрігес став одним з найяскравіших прихильників Сен-Симона.

У 1829 році, вже будучи відомим соціалістом, встигнувши взяти участь у виданні соціалістичного журналу Le Producteur, Родрігес вийшов з керівництва рухом, який після смерті самого Сен-Симона плавно, але невідворотно трансформувався в секту. Причиною для розриву, як кажуть, стали радикальні погляди сектантів на відносини між статями. У 1832 Родрігес остаточно покинув громаду, залишивши утопістів практично без грошей. До кінця життя (1851 рік) банкір продовжував називати себе переконаним соціалістом.

Порвавши з сенсимоністами, Родрігес раптом згадав про математику (а можливо, й просто про безтурботну студентську юність). Що конкретно послужило тут поштовхом, достовірно невідомо. Втім, це й не важливо; важливо лише те, що в 1840 році Родрігес опублікував у далеко не останньому періодичному виданні Journal de mathematiques pures et appliquees роботу, присвячену поворотам тривимірного простору. Ця робота містила практично повний опис алгебри кватерніонів — Родрігес назвав їх параметрами групи поворотів, — за винятком, мабуть, самого слова «кватерніон».

Кватерніони Родрігеса повторили долю його першого великого відкриття — формули для поліномів Лежандра, яку Родрігерс вивів у своїй дисертації De l'attraction des sphéroïdes. Ця формула, відкрита ним у 20 років, була опублікована в 1816 році. Незважаючи на це Джеймс Айворі і Карл Якобі «відкрили» її в 1824 і 1827 роках відповідно. Щоб не образити нікого з нових «першовідкривачів», формула отримала назву Айворі - Якобі. Тільки в 1878 році Едуард Гейне вказав на несправедливість, і формулу перейменували на прізвище першовідкривача. Незважаючи на це її ще довго називали формулою Айворі - Якобі. Далі, втім, все стало ще гірше: формулу Родрігеса взяли за одне з означень поліномів Лежандра і взагалі позбавили найменування.

Але робота Родрігеса, навіть будучи опублікованою в досить престижному математичному журналі, пройшла непоміченою. Ніби її й не було. Можливо, вона просто не потрапила на очі фахівцям, можливо, математична праця відомого банкіра-соціаліста апріорі сприймався як примха багатія. А даремно. Якби на роботу Родрігеса увагу звернули вчасно, доля як самих кватерніонів, так і багатьох математиків могла б скластися набагато менш драматично. Хто знає, можливо й сам  Вільям Гамільтон не став би жертвою алкоголізму. Однак, про все по порядку.

Великий Гамільтон

Поки Родрігес в перервах між соціалістичними диспутами займався математикою, в Ірландії про абсолютно іншу задачу думав найбільший математик свого часу Вільям Гамільтон. У 1833 році Гамільтон був першим (або одним з перших), хто зрозумів, що відомі до того часу комплексні числа представляються у вигляді впорядкованих пар чисел дійсних. Ми б зараз сказали, що Гамільтон здогадався працювати з двовимірними векторами, але в той час й слова такого «вектор» математики ще не придумали.

Головна перевага комплексних чисел полягає в тому, що їх можна не тільки додавати, але й множити. Так от, Гамільтон (як і багато математиків його часу) задався питанням: якщо можна множити двійки чисел, то може  можна множити і трійки? Це питання було важливим з багатьох причин, не останньою з яких було те, що Гамільтон вважав алгебру «наукою про найчистіший час».

Гамільтон досить довго (і безплідно) займався питанням множення трійок. Навіть діти математика, зустрічаючи його на сходах щоранку, задавали йому одне і те ж питання: «Тату, ти вже навчився множити трійки чисел?» На це Гамільтон незмінно відповідав: «Ні, я поки можу їх тільки додавати і віднімати».


Вільям Роуен Гамільтон
Гамільтон був справжнім вундеркіндом. У 12 років він знав 12 мов, у 17 років самостійно знайшов помилку в «Небесній механіці» Лапласа. У 18 років написав першу серйозну роботу з фізики (геометрична оптика). У 22, будучи ще студентом, став Королівським астрономом Ірландії. У 30 був нагороджений лицарським титулом. До 1843-го, коли Гамільтону було всього 38 років, він уже був автором багатьох серйозних робіт, зокрема, сформулював принципи гамільтонової механіки — формалізму, що лежить в основі як класичної, так і квантової механіки.

У понеділок 16 жовтня 1843 року (за деякими даними, це було саме в 49-й день народження Бенжамена Родрігеса) сер Вільям Роуен Гамільтон у супроводі дружини прогулювався по Дубліну в напрямку Королівської академії. На підступах до Брумського моста, який Гамільтон у всіх своїх листах чомусь вперто називав Брогемським, математика наздогнало осяяння. Він зрозумів, що треба працювати не з трійками, а з четвірками чисел. Легенда свідчить, що в пориві натхнення Гамільтон прямо на мості (точніше на опорі моста біля річки) нашкрябав знамените співвідношення «i2 = j2 = k2 = ijk = -1». Про те, як це сприйняла дружина математика, замовчується.

Про своє відкриття Гамільтон поспішив повідомити колегам. Примітно, що у своїх повідомленнях він знову назвав горезвісний міст Брогемським. Через кілька років, коли історія набула всесвітню популярність, влада Дубліна перейменували міст. Так, по суті в один день, Вільям Гамільтон відкрив кватерніони і перейменував міст.

І, до речі, навіть у назві свого дітища Гамільтон не зміг обійтися без пафосу (втім, на самого сера Вільяма до того часу тиснув вже по-справжньому важкий вантаж величі). За його власним визнанням (цитата наводиться за книгою Elements of Quaternions, 1901 рік), слово «кватерніон» споріднене до латинськоо quaternio (тобто «четвірка»), яке, у свою чергу, є синонімом грецького слова τετρακτύς. Тобто кватерніон — відображення того самого містичного тетрактіса піфагорійців, який, як ті вважали, символізує гармонію всіх чотирьох сфер буття і якому вони приносили свою знамениту клятву.

Загалом, очевидно, що з відкриттям кватерніонів Гамільтон пов'язував досить великі надії.

Задача Гамільтона

Отже, прийшов час більш точно сформулювати задачу, про яку думав Гамільтон.

Для початку нагадаємо, що векторний простір розмірності n — це множина впорядкованих наборів з n дійсних чисел. Нам потрібні простори вимірності не вище 4, тому ми будемо мати справу з двійками, трійками і четвірками чисел. Вектори однієї вимірності можна додавати — достатньо додати числа на відповідних позиціях. Вектори можна множити на число — достатньо помножити на це число кожну компоненту набору. Векторами у фізиці зазвичай позначають різного роду сили, швидкості, прискорення та інше. Загалом, величини, що мають крім числового виразу ще й напрямок.

На відміну від звичайних чисел, які можна множити, так просто придумати спосіб множення (з хорошими властивостями) для векторів не виходить. Наприклад, якщо вектори множити покомпонентно (як при додаванні), то добуток пар (1,0) і (0,1) буде давати (0,0). Можна показати, що через це ні у одного з множників не буде оберненого, тобто такого вектора, для якого його добуток з вихідним дає одиницю, тобто (1,1). По суті, це означає, що в отриманій алгебрі (векторний простір з множенням називається алгеброю) не можна ділити на (1,0). Або, якщо вже на те пішло, то на будь-який вектор (A,B), в якому одна з компонент дорівнює нулю.

У деяких випадках, однак, задача знаходження способу множення має розв'язок. Наприклад, якщо є пари векторів (A,B) і (C,D), то їх можна перемножити за формулою (AC - BD, AD + BC). Ця формула на перший погляд здається лякаючою і неочевидною, однак вона не що інше, як добуток комплексних чисел. Щоб зрозуміти це, досить ототожнити пару (A,B) з комплексним числом A + Bi, де i — та сама уявна одиниця (число, яке в квадраті дає мінус 1, а також число, яке викликає ненависть і презирство у всіх, хто мучився з математикою в школі). Сучасники Гамільтона вважали, що яка-небудь хитра формула повинна бути і для множення, наприклад, трійок. Саме її шукав Гамільтон.

Наші теперішні уявлення про вектори дозволяють легко зрозуміти, що задачу, яку він ставив перед собою, нерозв'язна. Для доведення нам буде потрібне поняття бази. Позначимо через 1, i, j трійки (1,0,0), (0,1,0) і (0,0,1) відповідно. З правил додавання і множення векторів випливає, що трійку (A,B,C) можна зобразити у вигляді A·1 + B·i + C·j. Саме в такому вигляді і будемо працювати з елементами тривимірного простору.

Брумський (Брогемський) міст

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Які властивості від гіпотетичного множення, яке шукав Гамільтон, можна вимагати? По-перше, звичайно, ми хочемо, щоб, за аналогією з комплексними числами, i, j були уявними одиницями. Тобто, i2 = j2 = -1. При цьому, звичайно, одиниця повинна вести себе як одиниця, тобто 1i = i1 = i, 1j = j1 = j. Крім цього наше множення, як і множення звичайне, має підкорятися дистрибутивному і асоціативному законам.

Тепер доведемо, що ми хочемо занадто багато.

Доводити будемо від супротивного. Розглянемо добуток ij. Він дорівнює якомусь числу з нашого тривимірного простору, тобто зображається у вигляді ij = A1 + Bi + Cj. Помножимо обидві частини рівності зліва (на комутативність ми не розраховуємо) на i. Враховуючи i2 = -1, отримуємо вираз -j = Ai - B1 + Cij. Підставимо замість ij вихідний вираз і зведемо подібні доданки. Отримаємо вираз 0 = (CA - B)1 + (CB + A)i + (C2 + 1)j. Рівність нулю означає, що нулю повинні дорівнювати всі компоненти трійки. Серед них, однак, існує C2 + 1, який завжди більший нуля. Ця суперечність завершує доведення.

Колеги містичного тетрактіса


Кеглі для боулінгу розташовано у вершинах тетрактіса

Що ж такого придумав Гамільтон, прогулюючись з дружиною? Насправді геніальною здогадку Гамільтона роблять дві речі. По-перше, він якимось чином здогадався, що треба розглядати не трійки, а четвірки чисел. По-друге, йому спало на думку відмовитися від комутативності множення.

Треба сказати, що друге було воістину революційним новаторством. Це зараз, коли існує квантова механіка, некомутативні об'єкти стали (умовно) звичними — наприклад, некомутуючі лінійні оператори, що описують у квантовій механіці положення та імпульс системи (наслідком саме некомутативності є принцип невизначеності Гейзенберга), проте в середині XIX століття люди про некомутативні алгебри не знали нічого.

Отже, кватерніонами називаються впорядковані четвірки дійсних чисел (A, B, C, D). Діючи так само, як ми діяли вище, ці числа можна записувати виразом A1 + Bi + Cj + Dk. Співвідношення між символами i, j, k є саме тими, які написав на мості Гамільтон, тобто i2 = j2 = k2 = ijk = -1. Одиниця ж (1) веде себе так само, як одиниця в дійсних числах.

Перші успіхи і довга дорога вниз

Науковий світ зустрів відкриття Гамільтона з натхненням. Батько електромагнетизму і далеко не остання людина у фізиці Джеймс Клерк Максвелл писав: «Відкриття кватерніонів обчислення — це воістину стрибок у нашому розумінні властивостей простору, стрибок, порівнянний, мабуть, з відкриттям Декартом координатних трійок!» Гамільтон ж, проголосивши кватерніони своїм найбільшим відкриттям, заходився з натхненням (як він сам висловлювався) «розшифровувати послання вищих сфер».

Спочатку все йшло досить непогано. Спочатку Гамільтон придумав слово «вектор», яким ми так активно користувалися вище. Треба сказати, що вектори Гамільтона були зовсім не звичними нам векторами — так він назвав кватерніони, у яких перша компонента, тобто A, дорівнює нулю (зараз такі кватерніони прийнято називати чисто уявними). Так як чисто уявні кватерніони утворюють простір вимірності три, то великий Гамільтон вирішив, що його теорія включає в себе всю механіку — адже, як говорилося вище, сили та інші фізичні величини записуються трійками чисел.


Джеймс Клерк Максвелл

Далі, записуючи множення кватерніонів, він ввів дві нові операції, кожна з яких сама по собі в майбутньому виявилася просто дуже корисною: векторний і скалярний добутки. Зараз ці операції відомі навіть школяреві, проте в середині XIX століття вони були справжнім одкровенням.

Однак далі справа чомусь не пішла. Теорія ніяк не хотіла складатися. Але Гамільтона було не зупинити — він із завзятістю шукав своїм кватерніонам застосування, яке ніяк не знаходилося. Різні історики оцінюють цей пошук по-різному. Хтось пише, що це, мовляв, було схоже на безплідні пошуки єдиної теорії всього, якою займався Ейнштейн. Хтось каже про справжню одержимість, божевілля (обтяженою невідворотно наступаючим алкоголізмом ). Ситуація ускладнювалася тим, що раптом з'ясувалося: в зародковому стані кватерніони, виявляється, були ще у Гауса, який просто не надав їм значення і не став публікувати отримані результати. Гаус вивчав теорему про чотири квадрати — твердження про те, що добуток двох чисел, які представлені у вигляді суми чотирьох квадратів, так само представляється у вигляді добутку чотирьох квадратів — прямий наслідок множення кватерніонів

Після смерті Гамільтона все стало ще гірше. Прихильники «кватерніонів прогресу» ставали все більш і більш схожими на агресивну секту — їхні наукові роботи робилися все більш розмитими, менш математичними. Зате випади на адресу опонентів вчення (а кватерніони досить швидко перестали бути математичною теорією, перетворившись на набір, взагалі кажучи, невірних з точки зору математики догм) ставали гострішими. Ось, наприклад, що писав улюблений учень Гамільтона Пітер Тет у відповідь на вихід книги «Векторний аналіз» Гібса : «Навіть професор Гібс має бути названий перешкодою на шляху кватерніонів прогресу, бо породжений ним памфлет "Векторний аналіз" — це чудовисько-гермафродит, який об'єднав в собі обривки ідей Гамільтона та Грассмана».

Немає нічого дивного, що до кінця століття кватерніони стали сприйматися зовсім неоднозначно. Лорд Кельвін в 1892 році писав про них так: «Кватерніони Гамільтона можуть вважатися найчистішим злом, яке не принесло нічого хорошого тим, хто працював з ними, включаючи, наприклад, Клерка Максвелла». Незважаючи на те, що після знаменитого «Рентгенівські промені — це вигадка», до висловлювань лорда взагалі слід ставитися скептично, спільне для того часу відношення до кватерніонів він передав вірно.

Наш час

Зараз зрозуміло, чому так сталося — Гамільтон дуже серйозно прорахувався, назвавши векторами чисто уявні кватерніони. Як показав тензорний аналіз — основи основ всієї фізики — вектор від будь-якого іншого упорядкованого набору чисел відрізняється виключно поведінкою при заміні координат. Гамільтонівські вектори вели себе неправильно і, отже, не годилися на роль тих самих фізичних спостережуваних. Математично правильний опис кватерніонів, а також їх інтерпретація були представлені в роботі Родрігеса, але про її існування, як говорилося вище, ніхто не знав. Та й чи прислухалися б великий Гамільтон і його учні до тверджень французького банкіра-соціаліста? Навряд чи.

Як би то не було, кватерніони зайняли своє місце в математиці. На початку XX століття були відкриті спінори — математичні об'єкти, які можна вважати «правильним» узагальненням векторів Гамільтона. Крім цього, Фердинанд Фробеніус довів, що кватерніони — це, в певному сенсі, єдиний спосіб продовжити множення комплексних чисел на щось більше з умовою асоціативності. Якщо відмовитися від асоціативності, то вийдуть так звані числа Келі, які визначають на вісімках чисел.

Кути Ейлера

Зараз їх активно використовують, наприклад, при комп'ютерному моделюванні, а також в датчиках орієнтації на літаках. Кватерніонний підхід хороший тим, що, на відміну від так званих кутів Ейлера (їх, наприклад, люблять астрономи ), кватерніонна інтерпретація позбавлена особливостей, тобто таких точок, які визначаються кількома значеннями параметрів одночасно. Через це, зокрема, засновані на кватерніонах обчислення більш стійкі — тобто, грубо кажучи, не сильно брешуть, якщо в початкових даних міститься невелика помилка. З іншого боку, у кватерніонів немає такого, як у кутів Ейлера, наочного геометричного зображення.

Загалом, кватерніони — звичайний собі математичний об'єкт. І не було б у нього такої багатої історії, якби люди вміли визнавати помилки. І цей висновок, на відміну від самих кватерніонів, дійсно можна назвати універсальним.

Переклад Lenta.ru

Mini Admini

Якщо не можеш вітер змалювати, прозорий вітер на ясному тлі, -
Змалюй дуби, могутні і крислаті, котрі од вітру гнуться до землі!

  • Коментарі не знайдено

Залиште свій коментар

Post comment as a guest

0
«
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
»

Наші контакти


Ідея, веб-дизайн і т.д.:

Олег Романів
oromaniv at franko.lviv.ua