Log in

Як звучить макро-канторова множина?

Як звучить макро-канторова множина? Як звучить макро-канторова множина?

Канторова досконала множина, як відомо, може бути описана, як множина чисел з проміжку [0,1], що їх запис у трійковій системі не містить двійок.  

На рисунку можна побачити послідовні наближення до канторової множини.

Якщо спроектувати наведені нижче літери на вісь ординат, то отримаємо ще один набір послідовних наближень до канторової множини (запозичено з цікавого сайту www.segerman.org/autologlyphs.html):

Існує аналог канторової множини у асимптотичній топології – це множина невід’ємних цілих чисел, що їх запис у трійковій системі не містить 2:

0,1,10,11,100,101,110, 111,…

Або, переходячи до десяткової системи:

0,1,3,4,9,10,12,13,…

Цю послідовність означено у статті A. Dranishnikov, M. Zarichnyi, Universal spaces for asymptotic dimension. Topology Appl. 140 (2004), no. 2–3, 203–225. Т. Банах запропонував для неї термін «макро-канторова множина». Нещодавно про макро-канторові множини згадав у свої статті відомий фахівець з фрактальної геометрії і фрактальний митець М. Барнслі (M. Barnsley).

Нещодавно я спробував скомпонувати музичний твір, де були би «закодовані» властивості макро-канторової множини. Результатом є фортеп’янна п’єса тривалістю 42 секунди. Макро-канторова структура відбита у ритміці твору і відчутно менше у голосоведенні. В ідеалі такий твір мав би бути локально самоподібний у тому сенсі, що він весь мав би бути розтягнутою в часі копією першого, скажімо, такту. Такий opus ще чекає свого автора.

Я не знайшов послідовності «макро-канторова множина» на відомому сайті oeis.org (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences). Там є споріднені послідовності для четвіркової (див. також статтю L Bartholdi, V Nekrashevych, Thurston equivalence of topological polynomials, Acta mathematica 197 (1), 1-51) та п’ятіркової системи.

Варто сказати, що на сайті oeis.org вміщено музичну програму, що дозволяє прослуховувати числові послідовності. Можна прослухати згадані щойно послідовності без двійок у четвірковій та п’ятірковій системі і порівняти результат.

 

Зауваги до статті від відомого львівського композитора Богдана Котюка:

Присутність музики в математиці свого часу відзначав ще Піфагор, який свої математичні здобутки ставив лише на восьме місце в ієрархії ним осягнених наук. Друге місце у цьому його списку зайняла астрономія, а на першому – Піфагор поставив музику. Це, мабуть, чи не найдавніше з відомих порівнянь двох систем організації мислення людини.

Присутність математики в музиці особливого значення набула в середині 20 ст. Це – не тільки Крамб, Кейдж чи Яніс Ксенакіс, але й ціла плеяда композиторів Дармштадтської школи на чолі з Калгайнцом Штокгаузеном; цілий період своєї творчості цьому напрямку віддав і Олів’є Мессін; знаними є й експерименти польських модерністів середини 20 ст.

Однак, якщо мислити глобально – то справді першим математиком у музиці був геніальний Йоганн Себастьян Бах. Математичний розрахунок і раціоналізм у його музиці вчуваються мало не в кожному такті – і це не зважаючи на нев’янучу актуальність його музичних ідей та емоційність висловлювання.

Я нещодавно був дещо заскочений запитанням підчас презентації своєї книжки про Ваґнера: "Хто на Вашу думку із творців спричинився в найбільшій мірі для прогресу, розвитку, поступу музики своїми відкриттями у сфері організації звукового матеріалу?" [звичайно ж, у своєму викладі я зараз "дещо" формалізував стилістику запитання, що було мені поставлене! :) Однак, суть залишилась у первісному вигляді.] Отож: як і в організації звукової маси у формальному плані (система dur-moll і ладова хроматизація) стовпи в організації змістовної суті висловленого музичними звуками – ті самі! Це – раціоналіст-математик Й.С.Бах і романтик-аватюрист, якого переповнювали емоції, Ріхард Ваґнер!!!

М.М. Зарічний

доктор фізико-математичних наук, професор кафедри геометрії і топології

Сайт: www.franko.lviv.ua/faculty/mechmat/Departments/Topology/zarichnyi.html

Залиште свій коментар

Post comment as a guest

0
«
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
»

Наші контакти


Ідея, веб-дизайн і т.д.:

Олег Романів
oromaniv at franko.lviv.ua