Log in

Розв'язано одну з найстаріших і найскладніших математичних задач

Розв'язано одну з найстаріших і найскладніших математичних задач Розв'язано одну з найстаріших і найскладніших математичних задач
Схематичне розбиття кількох перших парних чисел в суму простих
Схематичне розбиття кількох перших парних чисел в суму простих

У середині травня 2013 математик з Перу, в даний час працює у Франції, Харальд Хельфготт виклав в архів препринтів Корнельського університету статтю «Великі дуги для теореми Гольдбаха». Ця стаття обсягом 133 сторінки містить фінальну частину доведення (розпочатого на зорі XX століття математиком Іваном Виноградовим) так званої тернарноЇ проблеми Гольдбаха - однієї з найстаріших задач в теорії чисел.

Травень 2013 став дуже продуктивним місяцем для теорії чисел (точніше, аналітичної теорії чисел): буквально за один тиждень стало відомо про прогрес у двох найскладніших проблемах, що відносяться до так званих аддитивних задач. Якщо грубо, то це цілий клас задач, які мають справу з поданням одних чисел у вигляді суми інших, причому ці інші беруться з якого-небудь спеціального класу. Відповідно, більшість задач зводиться до того, чи існують вказані зображення і якщо так, то скільки їх. Відповідь на останнє питання, звичайно, дається не точна, а у вигляді якої-небудь приблизної оцінки. До задач цього класу належать, наприклад, задача Лежандра про зображення цілого числа у вигляді суми чотирьох квадратів натуральних чисел, завдання про зображення натурального числа у вигляді суми п'яти квадратів простих чисел.

До аддитивних задач відноситься загальна проблема Варінга. У 1770 році Едвард Варінг опублікував роботу, в якій висловив гіпотезу: довільне натуральне число є сумою чотирьох квадратів, дев'яти кубів, дев'ятнадцяти четвертих степенів. У більш загальному і сучасному вигляді ця задача формулювалася так: довести, що для будь-якого k існує число g(k), залежне тільки від k, таке, що довільне натуральне число є сумою g невід'ємних k-их степенів. Це задача, до речі, була вирішена Давидом Гільбертом ще в 1909 році.

Однією з цих задач була і так звана задача про прості числа-близнюки. Про неї ми докладно вже писали. Якщо коротко, то суть цієї проблеми така: треба довести, що кількість простих чисел p, q, таких, що p-q = 2, нескінченна. У сенсі адитивних задач тут розв'язується питання про нескінченність кількості зображень двійки у вигляді різниці двох простих. Саму задачу поки вирішити не вдалося, однак американський математик Ітан Чжан зробив важливий крок: він довів, що існує таке ціле N, що множина пар простих чисел p, q з  умовою p-q = N нескінченна. Це стало суттєвим кроком вперед, оскільки раніше не було відомо, чи нескінченна множина таких пар хоча б для якого-небудь N.

Іншою ж задачею, яку, на відміну від чисел-близнюків, вдалося вирішити повністю, стала так звана тернарна задача Гольдбаха.

Нотатки на полях

У 1725 році німецький математик і юрист Крістіан Гольдбах переїхав до Росії, щоб стати постійним членом Петербурзької академії наук. Справи у математика досить швидко пішли в гору, і його наблизили до двору - через декілька років він був особистим репетитором юного Петра II. У 1742 році Гольдбах (йому було 52 роки) вирішує закінчити кар'єру вченого і займає посаду чиновника в Колегії закордонних справ. 7 червня цього ж, доленосного для Гольдбаха року математик пише листа Леонарду Ейлеру, який на той момент проживав в Прусії. З Ейлером Гольдбах познайомився під час свого освітнього турне по Європі після закінчення університету і з тих пір підтримував дружні стосунки.

У кінці листа, вже на полях, Гольдбах пише таку гіпотезу: «Довільне ціле число більше двох можна представити як суму трьох простих» (німецький математик, на відміну від уявлень сучасної теорії чисел, вважав одиницю також простим числом). У відповідному листі Ейлер нагадує Гольдбаху, що раніше в особистій бесіді той висловлював схожу гіпотезу: мовляв, будь-які два парних цілих числа можна зобразити у вигляді суми двох простих. При цьому Ейлер був упевнений, що «це безсумнівно вірна теорема», але говорив, що він її «довести не в змозі». Так на світ з'явилася гіпотеза Гольдбаха, точніше навіть дві гіпотези відразу.

Перша отримала назву тернарної (або слабкої) гіпотези Гольдбаха. Вона стверджує, що довільне ціле число більше п'яти зображається у вигляді суми трьох (не обов'язково попарно різних) простих чисел. У свою чергу бінарна (або сильна) гіпотеза Гольдбаха стверджує, що всяке ціле парне число більше двох зображається у вигляді суми двох (не обов'язково різних) простих чисел. Цю гіпотезу називають сильною тому, що слабка з неї випливає: додаючи до всіх парних числах трійку, ми можемо отримати всі можливі непарні числа більше п'яти.

Дуги великі і малі

До початку XX століття гіпотези Гольдбаха, поряд з гіпотезою Рімана, стали одними з центральних задач теорії чисел, увійшовши навіть до складу знаменитої 8-й проблеми Гільберта.

Прорив у вирішенні цієї задачі був здійснений британськими математиками Гарольдом Харді і Джоном Літтлвуд. Тоді вони вивчали задачу Варінга (про неї йшлося вище). Розвиваючи ідеї самого Харді і Сіріваса Рамануджана, закладені в роботах 1916-1917 років, британські математики створили так званий круговий метод. Його суть полягає в наступному: розв'язання задачі (наприклад, кількість способів зобразити ціле число у вигляді суми трьох простих) задається інтегралом по одиничному колі від деякого ряду. Цей інтеграл розбивається на два, один з яких оцінюється, а про інший доводиться його відносна малість. Складові першої суми називаються великими дугами, а другої - малими.

Якщо читач спіткнувся на цьому місці, то ось як цей метод пояснив сам Харальд Хельфготт: «Аналіз кількості розв'язків проводиться, по суті, за допомогою перетворення Фур'є. Уявіть собі, що прості числа - це звуки тривалістю, скажімо, 2, 3, 5, 7, 11 і так далі мікросекунд. Після перетворення у вас виходить свого роду шум, в якому ви намагаєтеся почути якісь ноти. Серед них є такі, які чути досить добре, - це і є великі дуги. А є частоти, які просто є шумовими фрагментами, - це малі дуги. Весь метод розпадається на дві частини - виділення нот і доказ того, що решту насправді шум. За першу частину методу відповідають оцінки на великі дуги, за другий - на малі».

Використовуючи свій метод, Харді і Літтлвуд зуміли довести тернарну гіпотезу Гольдбаха. Однак у їхніх докази булп одна, але вкрай істотна вада, яка, по суті, перекреслювала всю роботу: у статті вони спиралися на недоведену узагальнену гіпотезу Рімана. Якщо коротко, то це деяке твердження про розв'язок одного рівняння - в гіпотезі говориться, що всі ці розв'язки лежать на одній прямій на площині. Це твердження настільки складне, що воно не доведено до цих пір, і його спрощений варіант (відоме просто як гіпотеза Рімана) входить до списку задач Тисячоліття інституту Клея, за розв'язання кожної з яких виплачується по мільйону доларів. Гільберт навіть жартував, що якби він заснув і прокинувся через 500 років, то першим ділом запитав би, чи доведена гіпотеза Рімана.

Рукопис Крістіана ГольдбахаМетод Харді і Літтвуда був вдосконалений радянським математиком Іваном Виноградовим, який поширив його на, так звані, тригонометричні суми. Завдяки цьому в 1937 році Виноградов без використання гіпотези Рімана довів ось такий факт: всі непарні цілі числа, починаючи з деякого N, можна зобразити у вигляді суми трьох простих. «Мабуть, основним досягненням Виноградова були оцінки на малі дуги. Насправді в круговому методі це складна частина, і оцінки Виноградова на той момент були просто приголомшливі - вони були результатом вкрай нетривіальних комбінаторних міркувань. Для оцінки ж великих дуг він використовував методологію, дуже схожу на ту, яка була у Харді і Літтвуда », - розповів Хельфготт.

Доведено - не доведено

Перш ніж продовжити розповідь, зробимо важливий відступ. З цього самого моменту (тобто з 1937 року) радянські математики вважали тернарну проблему Гольдбаха вирішеною, в той час як зарубіжні математики з цим незгодні. Праві саме зарубіжні: незважаючи на те що Виноградов проробив унікальну роботу, остаточно задачу не було вирішено. По-перше, Виноградів не оцінив число N. Коли ж це було зроблено його учнем Костянтином Бороздіним, виявилося, що границя N в роботі Виноградова становить число порядку 106846168. Навіть зараз чисельна перевірка на комп'ютерах усіх «решту» випадків у роботі Виноградова не представляється можливою. А значить (і це по-друге), серед цих чисел може ховатися контрприклад до твердження тернарної гіпотези Гольдбаха. І нехай в існування такого контрприкладу ніхто не вірив, задача не могла вважатися розв'язаною.

З тих пір багато хто з математиків намагалися поліпшити результат Виноградова. Ідея в основі всіх цих спроб була досить простою: покращуючи оцінки, домогтися того, щоб N стало досить малим. «Досить малим» в даному випадку мається на увазі таке значення, для якого гіпотезу Гольдбаха можна перевірити на комп'ютері.

«Я почав серйозно займатися проблемою Гольдбаха в 2006 році, - розповів Хельфготт. - Досить швидко я зрозумів, що можу поліпшити існуючі на той момент оцінки малих дуг. Результатом цієї роботи стали так звані вільні від логарифмів оцінки - ці результати я отримав досить швидко. Далі робота рухалася набагато повільніше - я намагався поліпшувати оцінки не тільки кількісно, але і якісно. З самого початку мені здавалося, що без якісних покращень у цій задачі не просунутися ».

Харальд Хельфготт
Харальд Хельфготт

У 2012 році світ побачила робота відомого фахівця з теорії чисел і філдсівського медаліста 2006 Терренса Тао. Йому вдалося показати, що довільне непарне число зображається як сума не більше ніж п'яти простих чисел.

«Треба сказати, що поява роботи Тао, присвяченої п'яти простих числах, підстьобнуло мене. У мене з'явився привід зібрати воєдино всі ті ідеї, які на той момент скупчилися у мене з приводу тернарної гіпотези Гольдбаха. Результатом цього стала робота, присвячена малим дугам. Ще рік пішов у мене на роботу з великими дугами», - розповів Хельфготт.

Результатом праць Хельфготта стала 133-сторінкова робота, яка містить всі необхідні оцінки. Головна теорема звучить наступним чином: всі непарні цілі числа, більші 1029, можуть бути зображені у вигляді суми трьох простих. Раніше твердження гіпотези Гольдбаха було перевірено (самим Хельфготтом у співпраці з Давидом Платтом) до 8,875x1030. Разом ці два факти дають остаточний доказ тернарної гіпотези Гольдбаха. Примітно, що нова робота покладається на чисельні методи ще в одному місці: для доведення довелося перевірити вже згадувану узагальнену гіпотезу Рімана для досить великої кількості коренів. Зроблено це було Давидом Платтом.

Бінарна проблема Гольдбаха

Для бінарної проблеми круговий метод не діє - вплив малих дуг там виявляється занадто сильним. У 1930 році Лев Шнірельман показав, що довільне парне число представимо у сумі не більше ніж 20 простих. Цей результат неодноразово поліпшувався - в 1995 році Олівер Рамаре показав, що довільне парне число представимо у вигляді суми не більше, ніж шести простих. Примітно, що новий результат Хельфготта дозволяє поліпшити результат Рамаре: віднімаючи від парного числа трійку, ми отримуємо непарне, яке, як тепер відомо, зображається у вигляді суми трьох простих. Таким чином, будь-яке парне число зображається у вигляді суми чотирьох простих.

Так виглядає, що до розв'язку сильної проблеми Гольдбаха ще далеко.

Переклад Lenta.ru

Mini Admini

Якщо не можеш вітер змалювати, прозорий вітер на ясному тлі, -
Змалюй дуби, могутні і крислаті, котрі од вітру гнуться до землі!

  • Коментарі не знайдено

Залиште свій коментар

Post comment as a guest

0
«
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
»

Наші контакти


Ідея, веб-дизайн і т.д.:

Олег Романів
oromaniv at franko.lviv.ua